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直観主義の具体例 [数学系]

直観主義は情報も少なく、イメージしにくいのが難点である。

一つのサンプルとして、以下の問題が良さそうである。

「 1 = 0.99999・・・ ?」

この問題は以前から特に海外を中心に議論になっているらしい。

解答としては、

(1) 1 = 0.99999・・・
(2) 1 ≠ 0.99999・・・
(3) その他

が考えられる。

こうした数学上で意見の分かれる問題は、ほぼ哲学に絡む問題である。数学だけで見るとまずループに入る。

一般に、Wikipedia など、現代数学教育を受けている人の解答は (1) が多く、それ以外の人は (2) に近い傾向にある。

以下では、直観主義をベースにこの問題を考える。

よくある説明では、

1/3 = 0.33333・・・

両辺に 3 をかけて

1 = 0.99999・・・

とあるが、この説明は(当然に見えるかもしれないが)「全行」疑問である。

まず一つの混乱は「0.33333・・・」この記号の解釈が2種類存在することである。

実無限 :到達された値、完結した無限
可能無限:いつまでも続くという可能性としての無限

一般に、「0.33333・・・」こう書くと、「実無限」つまり「無限に続くという値」をイメージする。

しかし「無限に続くという値」は存在しない。何故なら、存在すれば、その存在値からも更に「無限に続く」のだから「矛盾」する。つまり「値」であれば「矛盾」であり、従って「値」ではない。

「0.33333・・・」こう書くから謎めいているが、「33333・・・」こう書けば、この値は無限大へ続くので、こういう「値」は「値としては」存在しないとわかるはずである。

「0.33333・・・」「33333・・・」この両者は収束(他の値に近づく)と発散という違いはあるが、「存在値」の構成という点では「同じ」であり、両方構成できない。

次のように考えればいい。

プログラムにおいて扱われる数字というのは、あるデータ領域(型)をもち、それにより扱える数値の範囲が決定する。

C言語で、

char a;

と書けば、a は 1 byte(= 8 bit) であり、2 の 8 乗 = 256 個の数値を扱える。

long型 だと 4 byte であり、double型 だと 8 byte で扱える数値である。

可能無限の立場は、領域として「無限 byte」であり、その中である値をもつことができる。

無限型 b;

と考えればいい。

値は、ある値であるが、領域が無限にある。

しかし、実無限の立場は、値自体に「無限」という値があることになる。

つまり、上記において b に「ある値」(可能無限)ではなく、「無限という値(完結した無限)」(実無限)を作ってしまったのである。

例えば、

0.99999・・・ と 0.99999・・・9 は同じだろうか?違うのだろうか?

0.99999・・・ の最後の数字は、9以外はおかしいだろうから、同じとも言える。しかし、最後の数字は存在するのか?無限に続くのであれば最後の 9 以降はどうなるのか?

こうした問題は、「記号」の先に観ている対象が、数学的存在対象として「はっきりしない」のが原因である。つまり、「記号」を観ていることにより、実際の「対象」が様々に解釈可能である、という状況にある。

「0.33333・・・」というのは、実無限解釈であれば、そういう存在値はない。

しかし、1/3 を 10進数で表記したとき、小数 1桁目から順番に計算したときに計算可能な範囲での値(可能無限)ということであれば、存在する。

コンピュータでは、

0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1.0000001192

こうなることもある。

これは、コンピュータは2進数で値を扱うので、10進数の 0.1 は 2進数 で表現できないことに原因がある。従って(領域を大きくとっても)近似値になる。

これと同様に、1/3 というのは 10進数では「表現できない」。無理に表現して、「0.33333・・・」と書いても、(実無限解釈であれば)これは値ではない。

(実無限解釈において)0.33333・・・ に 3 をかけと、0.99999・・・ と説明されるが、これも疑問である。

例えば、円周率 = 3.14159265・・・ であるが、

  3.14159265・・・
× 3.14159265・・・
---------------

を考えればわかるように、10進数で無限に続く数を10進数の「答え」として計算する方法はなく、近似計算しかできない。計算するならどこかで区切らないと無理であるが、どう区切ればいいのか?

そして、どこから計算するのか?前からなのか後ろからなのか?

  0.33333・・・
× 3
---------------

これは、小数1桁目から「計算していくことができる」ように「記号だけ」をみれば思えるが、無限に続く小数の掛け算の方法は、決定したものではない。小数の最後からは計算できない(無限の先なので到達できない)が、何故小数1桁目からは計算することができるのか?

この計算方法は、記号中心型でありイレギュラー方式である。つまり、一般化できない特殊計算方式である。

小数1桁目から「計算していくことができる」というのは、「計算し終わる」のであればよいが、「無限に終わらない」。つまり「無限に計算していくことができる」と「無限に計算し終わらない」と両方成立している。後者が「忘れられている」。

「計算の積み重ね」の終了→「計算結果」であるところが、「計算の積み重ね」→「計算結果の積み重ね」になっている。「計算結果の積み重ね」が終わらない。

「数学的事態(値)」ではなく「記号」を追いかけていることにより「錯覚」が発生している。また、「実無限」と「可能無限」の解釈が混在し、混乱を招いている。

結論として、0.33333・・・ は、実無限解釈では「存在しない」となり、可能無限解釈では「 1/3 ≠ 0.33333・・・ 」となる。

(1) 1 = 0.99999・・・
(2) 1 ≠ 0.99999・・・
(3) その他

これも、実無限解釈では、

(3) その他(0.99999・・・は存在しない)となり

可能無限解釈では、

0.99999・・・ 自体を何かから導く(構成する)ことができれば、やはり (2) 1 ≠ 0.99999・・・ と考えられる。

循環小数の定義は、一般に実無限であるが、可能無限ともみることもでき、定義に問題がある。

円周率 = 3.14159265・・・

この右辺も、完結する値(実無限)としては存在せず、10進数で表記した場合の計算可能な範囲まで(可能無限)としてある。従って、「=」は正しいとはいえず「便宜上」と考えた方がいい。



前回書いたように、

構成派は、数学的対象を人の直観、構成により「与えられる」場合のみしか認めない。
実在論派は、数学的対象を人の直観、構成から独立して存在すると考える。

「直観」とは「直感」ではなく(その意味が含まれることもあるが)、「直接的に観る」「直接的に意識に与えられている」ということであり、「数学的理念存在」を「直接観る」ことである。

形式主義は、

「直観」 → 「記号」

であるが、直観主義は、

「直観」 → 「記号、言語」 → 「対象(数学的事態)」
「直観」 → 「描かれた図」 → 「幾何対象」
「直観」 --------------→ 「対象(数学的事態)」

ということであり、「記号」中心から「数学的存在」中心への転換である。

例えば、ノートに書かれた曲がり気味の直角二等辺三角形でも、実際に数学的対象として「観ている」のは、幾何学の理念としての直角二等辺三角形である。

ノートに書かれた直角二等辺三角形も、想像した直角二等辺三角形も、対象としている理念は同一であり、いつどこででも同一である。理念なので、線幅というのは本当はない。

実在論派(主に形式主義)の考えでは、「記号」の先の対象が「不明確」なことがあり「記号規則」しか与えられないので、数学の正当性の根拠が「与えられない」または「循環」することがある。従って、様々なパラドックスが現れる。

例えば、「 ∞ 」という記号であるが、この「記号の先」に「観ている」ものがその「対象としているもの」である。記号だけではこの「対象」が何かが曖昧である。

「カントールは数学に実無限、あらゆる限界を超えようとする可能性あるのみならず、実際それを越えてしまったと見なされる量を導入しようと企てた」

「無限とは哲学者によって生成と呼ばれるところのものであった。数学的無限とは、あらゆる限界を超えて増大する可能性をもつ量というに過ぎなかった。すなわち、あらゆる限界を超えてしまったとは言うことはできぬ、ただあらゆる限界を超えようとするものであるとのみ言うことのできる、ある数量のことを指した」
(ポアンカレ)


「非確定的と見なされねばならぬ定義は、循環論法を含む定義である」

「定義は、定義される対象の存在を主張する」
(ポアンカレ)

数学的対象として存在しない「定義」、あるいは同じ事であるが、「定義A」の根拠が「定義B」であり「定義B」の根拠が「定義A」と循環し、「定義A」も「定義B」も数学的対象として存在しない場合、これは「循環定義」となり根拠づけられたものとは言えない。

端的に言うと、これは(存在ロジックと離れた)「宙に浮いた定義」である。

定義は「定義される対象の存在」が最終的に与えられていなければならない。

「実数」の定義として、一般に

「実数は様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、位相的には途切れのない完備性とよばれる性質をもつ」

「実数の集まりを幾何学的に表示する方法として数直線があげられる。これは実数 0 に対応する原点とよばれる点を持った一つの直線で、直線上のそれぞれの点と原点との向きをこめた位置関係が各実数に対応している」
(2008.01 Wikipediaより)

この定義は「線分は無限の点で満たすことができ、点の位置に各実数は対応し、実数全体は連続的に途切れない」ということである。この説明に違和を感じるか否かである。ここにも「構成できない完結した無限(実無限)」の定義が内包されている。

線上の同じ点以外の2点間はいつも無限に点を打つことができる。打たれた点の間にも無限に点を打つことができる。

しかし「無限な点を打ち終わる」(実無限)とは言えない。「無限に点を打つことがいつまでも可能である」(可能無限)というだけである。そしてこれは「無限に点をいつまでも打ち終わらない」ということと同じである。

点をたしても線にはならない。(というより点をたすことはできない)

「実無限」も「実数」の定義も実は定義に対応する存在が与えられていなく、「どの説明も」存在しない定義が循環している。

0.33333・・・など「実無限の実数」の根拠は「実数の定義」で説明され、「実数」の根拠は「実無限」である。

「実数という数のクラスが初めてはっきりと取り出されたのはカントールによる集合の研究においてだった」

「構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている」

「実数の体系の持つ超越的な性格は集合論の初期から様々な数学者の嫌悪の的となった」
(2008.01 Wikipediaより)

数学において「定義A」の根拠が「定義B」、「定義B」の根拠が「定義A」で説明されることがある。これは「よい説明ではない」が、しかし、「どこかで実は数学的存在が与えられている」場合と、「与えられていない」場合がある。前者と後者の区別が意識されていない場合があるが、問題は後者である。

プログラム言語というのはいくつもあり、今後もいくつでも作ることが可能であり、言語体系は「ある決まった正しい体系」というのはない。では、どんな「無茶な」言語体系でも作りえるのかというと、それはできない。根拠となる存在ロジックが与えられないところは「動かない」。

(1) 1 = 0.99999・・・ という解答は「実数の定義」と「実無限定義」の存在しない「循環定義」を根拠とし、疑問である。

この定義を元に体系学習すると、定義には疑問を持ちにくい。定義に疑問をもつのは哲学的な何かが必要である。

(次縞で根本的な点について更に説明する)

実数の定義については直観主義者により異議が唱えられているが、結局「1 = 0.99999・・・?」の問題はここに行き着く。しかし、何故これが問題(矛盾)なのか合意が得られにくい。

これらの定義は現代数学に根を下ろしている。直観主義は「過激な帰結」(ワイル)なのだろうか?実は根は一つではないのだろうか?実無限と実無限を内包した定義である。しかし、それは拡がっている。

「現実性」「便宜上」の判断というのもあるが、直観主義の考えが単に理解されず「近年理解されてきた」ものと思われる。

直観主義は、思想的でも、派閥的なものでもない。実無限は、数千年数学で1世紀くらいである。

数学は、一応基礎的原理であり、現実の実用論、経験論とは異なる。数学自身の原理でもあり、応用・実用のためにもあり、科学、工学、経済も数学なしに成り立たない。分野にはその分野の特性がある。

歴史など事実集積的な話は、様々な見方により「おおよそのところ」「妥当な線」として枠広く時代においてあり、ある程度解釈相対性はある。経営なども試行錯誤であり必ずしもロジカルには進まない。

しかし、数学は理念的な抽象対象であり、永遠性が確保されるため、「矛盾」は何年たっても「永遠矛盾」である。従ってこれは永遠に蒸し返される。

「数学において存在という語のもつ意味は、矛盾がないということである」(ポアンカレ)

(本来の)直観主義数学は単に矛盾をとるだけであり、コンピュータが「機械的」に行うことを「机上で」行うことである。それを行わないと、存在根拠のない「定義」によりパラドックスは避けられない。

コンピュータ系の人が「直観主義」の立場をとる傾向にあるのは、「記号」(文法)より「数学的存在」(値、実体)の整合を現実場面で気にせざるを得ないからである。

ポアンカレの言葉は簡素でさりげないが、とても見抜かれたものである。実は解決されている問題も多く、科学・数学哲学では頭一つ抜けている。

相対性理論その他についても、著作で根本哲学からその先の進路についてかなり述べられている。相対性理論の混乱も創始したポアンカレの構成的な根本発想が抜け落ち気味なのが原因の一つと思われる。

哲学を忘れた学問は、糸の切れた凧になりかねない。(哲学は凧のない糸のようだが・・・)


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コメント 1

NO NAME

私も高等数学の教育は受けていないのでよくわからないのですが、
「無限小数とは何か」「小数とは何か」
についてきちんと考えた方が良いのではないでしょうか?

割り算の筆算をしてみれば、1/2が0.5であること、100/4が25であること、1/4が0.25であること、そして、1/3が0.3333333…であることもわかります
0.333333…というのは、1/3を小数で書くとしたらこうなりますよ、ということを表現しているだけのものです
by NO NAME (2015-11-18 23:23) 

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