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ゲーデルの不完全性定理について [論理学]

以下の文章は「ゲーデルの不完全性定理」(レイモンド・スマリヤン)、「ゲーデルの哲学」(高橋章一郎)を参考にして書いています。直接的にゲーデルの定理を解析した上でのことではないので、問題ないと思いますが、β版として記述します。

基本的に不完全性定理は以下のような内容である。

[第一不完全性定理]
システムSが正常であるとき、Sは不完全である。
(無矛盾な(形式的)公理系Sには、証明不可能な命題が存在する)

[第二不完全性定理]
システムSが正常であるとき、Sは自己の無矛盾性を証明できない。
((形式的)公理系Sが無矛盾であれば、その体系内で自身の無矛盾性を証明出来ない)

しかし、「自己言及のパラドックスと超越論的論理学」で書いた通り、形式システム(形式論理)が正常でも、いくらでも「矛盾命題」は作れるのであり、形式論理だけでは論理判断は不十分である。従って、ここでも「超越論的論理学」による考察が必要とされる。

だから、「第一不完全性定理」「第二不完全性定理」も実は当然であり、何も問題はないことになる。

簡単に言うと、「ある形式システムが正常でも(矛盾がなくても)、矛盾命題がいくらでも作れるのは、超越論的論理学で考えると当然である」

ゲーデルも「数学を形式化しようとすると、…日常言語では理解し表現できるが、形式体系内では表現できない命題が生じる。…数学では汲み尽くせないのであり、直観の源泉から汲み上げる必要がある。」と言っている通りで、感覚的にそのことを理解していたのです。

しかし、何故ゲーデルの定理から「理性の限界」ということが語られるのだろうか?
何故「形式論理」の判断問題が「理性」問題と並行的にイコールとして語られるのか?

「理性の限界」という考えには、形式化の完成こそが「理性による完全化」「論理の完全化」であるという前提がある。だから形式化では論理判断できない矛盾命題が現れると、「理性による完全化はできない、つまり理性は不完全である」という思考になる。しかし、「理性、論理」は決して形式化ではなく、形式化はあくまでその一部である、ということは超越論的論理学より明らかである。

「A+B=C」
「AはBである」

Aは形式であり、Aに代入できるものを内容(質)とする。
内容には何でも代入できるとすると、Aは更に「命題、論理式等」を代入できるのであり、論理判断としては、最終的な基体にまで分岐し、遡らないといけない。Aに代入できる条件により、論理形式は確定できないし、論理判断はできない。

(注) この問題は、学科についての分類と問題の核についての整理が必要と思われる。


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コメント 4

cogito-on-jp

 不完全性定理は、私も一度解説本で読んだのですが、なんだか気分が悪くなり、それ以後、もう一度読まねばみたいな気持ちはあるのですが、読んでいません。

 ただ、この定理はさほどおどろくものではない、というところはYagiYuki、さんと同じです。

 私はその後、そもそもこの世界は論理的に、(完全には)説明できない、捉えられない、という考えに至りました。そして、驚くことには、そういう構造が、そもそも、この世界を可能にしている、とさえ考えられるところです。
(”人”はなぜ、物事を知ろうとするのでしょうか、知って、”安心したい”のでしょうか。安心できないあり方こそ、面白いのではないですか、そんな風に(文学的に)考えられもします)
by cogito-on-jp (2006-02-05 11:56) 

YagiYuki

(あまり適当でないコメントだったようで、削除しました。失礼しました)
by YagiYuki (2006-02-17 12:40) 

市

言葉による深い意思疎通は、言葉の前提が一致してる者同士の間でしか起こらないということでしょうか。
by 市 (2007-04-19 18:21) 

YagiYuki

すいません。遅くなりました。

>言葉による深い意思疎通は、言葉の前提が一致してる者同士の間でしか起こらないということでしょうか。

そういうこととは少し違います。

なかなか説明しにくいのですが、「A=B」「AはBである」という命題があるとすると、Aというのは形式で、そのAにはいろいろな数値や文字、更に命題が入ります。それを質料(内容)と呼びます。つまり、「形式」と「質料(内容)」で命題は成り立ちます。

形式論理学や(数学での)形式主義は「形式面」だけに焦点を当てて、その中で「矛盾のない」論理や体系を構築しようとします。

ゲーデルの定理もそうですが、数学に焦点を当ててみます。

ゲーデルの定理の証明の中では「再帰関数」なども認めているようですが、「再帰」や「循環」などを含む体系では簡単に矛盾命題は作れます。つまり「排中律(真か偽か)」は成り立たない。

そういうわけで、

「有限的数論の問題解決のためにも数学的直観が必要とされることは、いかなる公理系についても、無限に多くの決定不能命題があることから導かれる」(ゲーデル)

つまり「真か偽か」というのは、「形式体系」により決められる、ものではなく、Aに何が入るか、何が「思念されている」か、という「直観の源泉(その分岐と基体)」に遡っていって初めて判断できる(真偽あるいは矛盾は言える)。

これはカントからの「直観」哲学の流れであり、数学より哲学的に考えた方がわかりやすいかも知れません。

しかし、「ゲーデルの定理」に関してもっと理解するには数学の基礎の理解が必要なので、そこにはまだ至っていません。
by YagiYuki (2007-04-23 12:50) 

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